رفتارهای غیرخطی معمول

horizontal rule

 

 

در طبیعت رفتارهای غیر خطی بی شماری را می توان نام برد. در این قسمت پاره ای از توابع و رفتارهای غیرخطی را معرفی می کنیم که در اکثر سیستمهای صنعتی با آنها روبرو هستیم. (در ضمن این رفتارها غیر خطی بسیار ایده آل فرض شده اند)

1- عناصر بهره متغیر

عناصری در سیستم های کنترل وجود دارد که گین آنها با توجه به بازه ی پارامتر ورودی تغییر می کند. نمودار زیر این مطلب را بوضوح نشان می دهد:

نمونه ای  از این سیستمها، سیستم فنرهای موازی ست که در شکل زیر نحوه ی قرارگیری آنها نمایش داده شده است.

جسم با دامنه نوسانات δ دارای فرکانس نوسانات (ω=sqrt(2k/m خواهد بود(فنرها خطی فرض شده اند). در صورتی که جابجایی اولیه سیستم بزرگتر از δ باشد، وارد ناحیه عملکرد غیر خطی خواهیم شد که برای بررسی رفتار آن می بایست تابع توصیفی مناسبی برای سیستم تعریف شود. بنابراین داریم:

که در آن ψ1 به جای عبارت ωt استفاده شده است.

دو ناحیه ناهمپوشان سیستم کنترلی عبارتند از:

در حالتی که سیستم با ورودی سینوسی با دامنه ی A تحریک شده باشد، با استفاده از تبدیل فوریه ی پارامتر خروجی، می توان تابع توصیفی را به صورت زیر بدست آورد:

بنابراین تابع توصیفی یک المان چند بهره به صورت زیر است:

رفتارهای غیرخطی دیگری که به صورت چند بهره اند شامل موارد زیر است:

1-الف) ناحیه ی مرده

این رفتار در سیستمهایی دیده می شود که در آنها خروجی به ازای ورودی های کوچک صفر باقی می ماند. نمودار زیر شکل گرافیکی رفتار این گونه سیستمها را نشان می دهد.

تابع توصیفی این گونه سیستمها نیز به صورت زیر است:

1-ب) اشباع

سیستمهای طبیعی ذاتاً دارای محدودیت هستند. ازاین رو این رفتار در قریب به اتفاق همه ی این سیستمها دیده می شود. این رفتار هم مانند ناحیه ی مرده، یک رفتار چند گین محسوب می شود.(خروجی سیستم به ازای ورودی های بزرگتر از مقدار خاص دارای گین ثابت است. درحالی که با ورودی های کوچک سیستم دارای گین ثابتی ست)

نمودار زیر، شکل تقریبی رفتار یک سیستم دارای محدودیت و اشباع را نشان می دهد.

تابع توصیفی این رفتار نیز براساس روابط زیر بیان می شود:

1-ج) سیستمهای دو وضعیتی

از دیگر سیستمهای چند گین معمول می توان به سیستمهای دو وضعیتی اشاره کرد. در اکثر سیستمهای صنعتی خروجی سیستم دارای دو حالت است  مانند سنسورهای دو وضعیتی (که برای اعلان هشدار برای کنترلر به کار برده می شوند) یا عملگرهای دو وضعیتی (مانند شیرهای دو وضعیتی یا رله ها). در این سیستمها خروجی به ازای ورودی هایی که مقدار آنها از حد خاصی بیشتر باشد یک وضعیت و در غیر این صورت وضعیت دومی را اختیار می کنند.

نمودار زیر شکل تقریبی رفتار سیستمهای دو وضعیتی را نشان می دهد:

تابع توصیفی سیستمهای دو وضعیتی به صورت زیر است:

2- کوانتیزه کننده ها

این نوع رفتار در سیستمهای دیده می شود که در آنها از مبدلهای آنالوگ به دیجیتال (ADC) یا سایر مبدلهایی که ورودی را به حالت خاصی کوانتیزه می کنند، دیده می شود. رفتار این سیستمها به صورت زیر است:

تابع توصیفی این نوع سیستمها نیز به صورت زیر است:

3- سیستمهای با تابع چندجمله ای

در برخی از سیستمها خروجی را می توان با یک چند جمله ای به ورودی وابسته کرد. به عبارت دیگر:

کاملاً مشخص است که تابع y یک تابع فرد است. این تابع از جمع عبارتهای زیر بدست آمده اند:

تابع توصیفی برای سیستم بالا به صورت زیر است:

به عنوان مثال برای تابع

تابع توصیفی زیر را به دست می آوریم:

4- هیسترزیس

خاصیت هیسترزیس نیز در بیشتر سیستمهای غیر خطی رایج است. نمونه ای از این رفتار در رله های الکتریکی دیده می شود. در این رله ها برای روشن یا خاموش کردن آنها، می بایستی جریان کوچکی(به عنوان جریان درایو) به آنها داده شود. حال فرض کنید جریان سینوسی به این رله اعمال شود. در این صورت نمودار زیر بیانگر رفتار رله خواهد بود:

تابع توصیفی سیستمهای هیسترزیس به صورت زیر است:

5- هیسترزیس لخت

هیسترزیس لخت معمولاً در هسته ی ماشینهای الکتریکی دیده می شود. سیستمهایی که دارای این خاصیت باشند به صورت زیر رفتار می کنند.

شکل زیر خروجی سیستم را به ازای ورودی سینوسی نشان می دهد.

تابع توصیفی برای اینگونه از سیستم ها با روابط زیر تعریف می شود:

که در آن داریم:

 

توجه: در این قسمت به معرفی مهمترین رفتارهای غیرخطی پرداختیم. برای اطلاع بیشتر در این باره به [2] مراجعه کنید.

مفاهیم اولیه
محاسبه ی تابع توصیفی
رفتارهای غیرخطی معمول
وجود سیکل حدی
قابلیت اطمینان
پایداری
معیار پوپوف
معیار دایره
مراجع

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

horizontal rule

مفاهیم اولیه | محاسبه ی تابع توصیفی | رفتارهای غیرخطی معمول | وجود سیکل حدی | قابلیت اطمینان | پایداری | معیار پوپوف | معیار دایره | مراجع

Copyright R. Mokhtari